Question

12．如图，一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B，若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是（3，0），（2$\sqrt{2}$-1，0），（-2$\sqrt{2}$-1，0），（1，0）．

Answer 1

分析 先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．

解答 解：∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b，解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B（-1，0）．
当AB=AP时，
∵B（-1，0），
∴P₁（3，0）；
当AB=BP时，
∵AB=$\sqrt{{（1+1）}^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴P₁（2$\sqrt{2}$-1，0），P₃（-2$\sqrt{2}$-1，0）；
当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，线段AB的中点坐标为（0，1），
设点P所在的直线解析式为y=-x+c，则c=1，
∴直线解析式为y=-x+1，
∴当y=0时，x=1，
∴P₄（1，0）．
综上所述，P点坐标为：（3，0），（2$\sqrt{2}$-1，0），（-2$\sqrt{2}$-1，0），（1，0）．
故答案为：（3，0），（2$\sqrt{2}$-1，0），（-2$\sqrt{2}$-1，0），（1，0）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．