Question

如图，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长BF交AC于E．
（1）求证：△BDF≌△CDA；
（2）试说明：△ABC是等腰三角形；
（3）连结AF并延长，交BC于G点，求证：AG⊥BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；
（3）根据△FBD≌△ACD，可得AD=DF，DB=DC，再由∠ADF=90°，可得∠DFA=45°，∠DCB=45°，再根据三角形内角和定理可得∠AGC的度数．

解答：证明：（1）∵在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，

AD=DF ∠BDC=∠ADC DB=CD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB=∠CEB=90° EB=BE ∠ABF=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴AD=DF，DB=DC，
∵∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠DFA=45°，∠DCB=45°，
∵∠AFD=∠GFC=45°，
∴∠FGC=90°，
∴AG⊥BC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件．