Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求EM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据矩形的性质得∠B=90°，AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，而DE⊥AM，所以∠B=∠AED=90°，于是根据相似三角形的判定即可得到△ADE∽△MAB；
（2）由M是BC中点，AD=BC=6得到BM=3，在Rt△ABM中，根据勾股定理得AM=5，再由△ADE∽△MAB，利用相似比计算出AE，然后利用EM=AM-AE求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
∵DE⊥AM
∴∠B=∠AED=90°，
∴△ADE∽△MAB；

（2）解：∵M是BC中点，AD=BC=6
∴BM=

1

2

BC=3，
在Rt△ABM中，AB=4，
∴AM=

AB2+BM2

=5，
∵△ADE∽△MAB，
∴

AE

BM

=

AD

AM

，即

AE

3

=

6

5

，
∴AE=

18

5

，
∴EM=AM-AE=5-

18

5

=

7

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了勾股定理和矩形的性质．