题目内容
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，∠ABD的平分线交AD于点E，∠CAD的平分线交CD于点F，连接EF．求证：EF∥AC．考点：平行线分线段成比例
专题：证明题
分析：根据角平分线定理得到
=
和
=
，再证明Rt△ABD∽Rt△CAD得到
=
，利用比例性质得
=
，则
=
，然后根据平行线分线段成比例定理的逆定理可得EF∥AC．
| AE |
| DE |
| BA |
| BD |
| CF |
| DF |
| AC |
| AD |
| BA |
| AC |
| BD |
| AD |
| BA |
| BD |
| AC |
| AD |
| AE |
| DE |
| CF |
| DF |
解答：解：∵∠ABD的平分线交AD于点E，
∴
=
，
∵∠CAD的平分线交CD于点F，
∴
=
，
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
而∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴EF∥AC．
∴
| AE |
| DE |
| BA |
| BD |
∵∠CAD的平分线交CD于点F，
∴
| CF |
| DF |
| AC |
| AD |
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
而∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴
| BA |
| AC |
| BD |
| AD |
∴
| BA |
| BD |
| AC |
| AD |
∴
| AE |
| DE |
| CF |
| DF |
∴EF∥AC．
点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了角平分线定理和相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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