Question

1．求$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}}}$-$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}$的值．

Answer 1

分析 设x=$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}}}$，y=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}$，两边平方得出关于x、y的方程求得方程的解，进一步得出答案即可．

解答 解：设x=$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}}}$，y=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}$，
则x²=2x，y²=2+y，
解得：x=2或x=0（舍去），y=2或y=-1（舍去）
因此$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{…}}}}}}$-$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}}}$=x-y=0．

点评 此题考查二次根式的化简求值，把问题转化为解方程是解决问题的关键．