Question

10．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分是个正方形（填长方形或正方形），它的边长为m-n；
（2）观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式（m+n）²、（m-n）²、mn之间的等量关系是（m+n）²=（m-n）²+4mn．
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

Answer 1

分析 （1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即m-n，各角均为直角，可得；
（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积的两种不同算法，可得等式；
（3）根据大长方形面积等于长乘以宽或6个矩形面积和的两种不同算法可列出等式．

解答 解：（1）图②中阴影部分的边长都等于小长方形的长减去小长方形的宽，即m-n，
由图可知，阴影部分的四个角都是直角，故阴影部分是正方形，其边长为m-n；
（2）大正方形的面积边长的平方，即（m+n）²，或小正方形面积加4个小长方形的面积，即4mn+（m-n）²，
故可得：（m+n）²=（m-n）²+4mn；
（3）大长方形的面积为长×宽，即（2m+n）（m+n），
或者分割成6个矩形的面积和，即m²+3mn+n²，
故（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²；
故答案为：（1）正方，m-n，（2）（m+n）²=（m-n）²+4mn，（3）（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．