Question

【题目】在正方形ABCD中，点H，E，F分别在边AB，BC，CD上，AE⊥HF于点G．

（1）如图1，求证：AE＝HF；

（2）如图2，延长FH，交CB的延长线于M，连接AC，交HF于N．若MB＝BE，EC＝2BE，求的值；

（3）如图3，若AB＝2，BH＝DF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为　 　．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）＝2；（3）AM的最小值为．

【解析】

（1）如图1中，作HM⊥CD于M．证明△ABE≌△HMF（ASA），即可推出AE＝HF．

（2）不妨设BE＝BM＝a，EC＝2a，则AB＝BC＝CD＝3a，CM＝4a，推出tan∠BAE＝＝，证明∠M＝∠BAE，推出tan＝，可得BH＝a，CF＝a，推出AH＝AB﹣BH＝3a﹣a＝a，再利用相似三角形的性质即可解决问题．

（3）如图3中，延长BA到N，使得AN＝AD，作MJ⊥AN于J，交CD的延长线于K，作FQ⊥AB于Q，则四边形BCFQ，四边形ADKJ都是矩形，△FQH≌△FKM（AAS）．想办法证明tan∠N＝2，推出点M的运动轨迹是射线NM，∠N是的定值，作AP⊥MN于P，根据垂线段最短可知：当AM与AP重合时，AM的值最小．

（1）证明：如图1中，作HM⊥CD于M．

∴四边形ABC都是正方形，

∴∠B＝∠C＝∠CMH＝90°，AB＝BC，

∴四边形BCMH是矩形，

∴HM＝BC＝AB，

∵AE⊥HF，

∴∠AGH＝∠AHM＝90°，

∴∠BAE+∠AHG＝90°，∠AHG+∠FHM＝90°，

∴∠BAE＝∠FHM，∵∠B＝∠HMF＝90°，

∴△ABE≌△HMF（ASA），

∴AE＝HF．

（2）解：如图2中，

∵EC＝2BE，不妨设BE＝BM＝a，EC＝2a，则AB＝BC＝CD＝3a，CM＝4a，

∴tan∠BAE＝＝，

∵ABE＝∠MGE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠M+∠AEB＝90°，

∴∠M＝∠BAE，

∴tan＝

∴BH＝a，CF＝a，

∴AH＝AB﹣BH＝3a﹣a＝a，

∴CF∥AH，

∴△ANH∽△CNF，

∴＝＝＝2．

（3）解：如图3中，延长BA到N，使得AN＝AD，作MJ⊥AN于J，交CD的延长线于K，作FQ⊥AB于Q，则四边形BCFQ，四边形ADKJ都是矩形，

∵∠QFH+∠QFM=∠KFM+∠QFM

∴∠QFH=∠KFM

∵∠FQH =∠FKM =90°，HF=MF

∴△FQH≌△FKM（AAS）．

∴QK＝KM，DF＝AQ＝BH，

∵KJ＝AD＝AB，

∴JM＝AQ+BH＝2AQ，

∵FK＝FQ＝JQ＝AD＝AN，

∴AQ＝JN，

∴JM＝2JN，

∴tan∠N＝＝2，

∴点M的运动轨迹是射线NM，∠N是的定值，作AP⊥MN于P，

根据垂线段最短可知：当AM与AP重合时，AM的值最小，

∵tan∠N＝＝2，设NP＝x，AP＝2x，

在Rt△APN中，则有22＝x2+4x2，

解得x＝（负根已经舍弃），

∴PA＝2x＝，

∴AM的最小值为．