Question

已知：直线y=-x+m与坐标轴交于M、N两点，点B在NM的延长线上，OC⊥OB，且OC=OB，OG⊥BC于G交MN于点A．
（1）如图1，连NC，求证：△OCN≌△OBM；
（2）如图2，在条件（1）下，过A点作AE⊥y轴，过B点作BF⊥x轴，垂足分别为E、F，EA、BF的延长线相交于P点，求证：AE²+BF²=AP²．
（3）如图3，当m=2时，在条件（2）下，双曲线y=

k

x

经过点P，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于直线y=-x+m，分别令x与y为0求出y与x的值，得到OM=ON，再由OB与OC垂直，OM与ON垂直，利用垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，再由OB=OC，利用SAS得到三角形ONC与三角形OMB全等即可；
（2）利用两对角相等的三角形相似得到三角形AOB与三角形NOB，利用相似得比例列出关系式，设AE=a，BF=b，AP=c，OE=t，根据三角形NOM与三角形BPA都为等腰三角形，得到t=m-a=c-b，即m+b=c+a，根据勾股定理列出关系式，整理即可得证；
（3）设B（g，2-g）（g＞0），则得到C坐标为（g-2，g），表示出中点G坐标，确定出直线OG解析式，与直线MN解析式联立求出A的坐标，进而确定出P坐标，即可求出k的值．

解答：（1）证明：对于直线y=-x+m，
令x=0，得到y=m；令y=0，得到x=m，即OM=ON，
∵OB⊥OC，OM⊥ON，
∴∠BOC=∠MON=90°，
∴∠BOC-∠COM=∠NOM-∠COM，即∠NOC=∠MOB，
在△NOC和△MOB中，

ON=OM ∠NOC=∠MOB OC=OB

，
∴△NOC≌△MOB（SAS）；

（2）解：∵△MON，△BOC为等腰直角三角形，G为BC中点，
∴∠BOA=∠BNO=45°，
∵∠OBN为公共角，
∴△BOA∽△BNO，
∴

BO

BN

=

AB

BO

，即BO²=BA•BN，
设AE=a，BF=b，AP=c，OE=t，
∵△NOM和△BPA都为等腰三角形，
∴t=m-a=c-b，即m+b=c+a，
在Rt△OFB中，根据勾股定理得：OB²=（b+m）²+b²=（c+a）²+b²，
∵BA=

2

c，BN=

2

（c+a），
∴c²=a²+b²，即AE²+BF²=AP²；

（3）解：设B（g，2-g）（g＞0），
过C作CS⊥y轴，过B作BH⊥y轴，
∵∠SOC+∠BOH=90°，∠SOC+∠SCO=90°，
∴∠BOH=∠SCO，
在△SOC和△HBO中，

∠CSO=∠OHB=90° ∠SCO=∠HOB OC=OB

，
∴△SOC≌△HBO（AAS），
∴CS=OH=g-2，SO=HB=g，
∴点C可表示为（g-2，g），
∴BC中点G坐标为（g-1，1），
∴直线OG解析式为y=

1

g-1

x，
与直线MN：y=-x+2，联立得：

y= 1 g-1 x y=-x+2

，
消去y得：

1

g-1

x=-x+2，
解得：x=

2g-2

g

，
将x=

2g-2

g

代入得：y=

1

g-1

•

2g-2

g

=

2

g

，
∴A（

2g-2

g

，

2

g

），
∴P（g，

2

g

），
则k=2．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，两直线的交点坐标，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．