Question

4．在△ABC中，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆分别与AC、AB相切于点C、点D，连接DE
（1）如图1，求证：∠A=2∠BDE；
（2）如图2，若AC=EC，求证：BD=2BE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥AC，交⊙O于点F，交BC于点H，M是$\widehat{CF}$是一点，过点C作CG⊥FM交FM的延长线于点G，连接DM，若FM=$\frac{1}{3}$FG，BE=$\frac{5\sqrt{5}}{6}$，求DM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，所以∠EOD=∠A，因为OD=OE，所以∠EDO=90°-$\frac{1}{2}$∠A，因为AB与⊙O相切，所以：∠A=2∠BDE；
（2）连接OD、CD，易证△BDE∽△BCD，所以BD²=BE•BC，又易证△BDO∽△BCA，可知BC=2BD，所以BD=2BE；
（3）连接CF、CM、OD，设FM=a则MG=2a，△DBE∽△CBE，求出EC，由∠CMG=∠FDC=∠CED=∠AOC，推出tan∠CMG=tan∠AOC=$\frac{QC}{OC}$=2，推出$\frac{CG}{MG}$=tan∠CMG=2，
推出CG=2MG=4a，CD=CF=5a，想办法用a表示CE，求出a，再证明DM=CF=5a即可解决问题．

解答 解：（1）连接OD，如图1，
∵⊙O分别与AC、AB相切于点C、点D，
∴∠ODA=∠OCA=90°，
∴∠DOE=∠A，
∵OD=OE，
∴∠EDO=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BDE+∠EDO=90°，
∴∠A=2∠BDE；

（2）连接OD、CD，如图2，
由（1）可知：∠A=2∠BDE，
∵∠A=∠DOE
∠DOE=2∠DCE，
∴∠A=2∠DCE，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCD，
∴BD²=BE•BC，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴△BDO∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{OD}{AC}$，
∵AC=EC，
∴2OD=AC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴BD²=BE•2BD，
∴BD=2BE；

（3）连接CF、CM、OD，设FM=a则MG=2a，

∵BD=2BE，
∴BD=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BCD，
∴△DBE∽△CBE，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴BD²=BE•BC，
∴BC=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
∴CE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠CMG=∠FDC=∠CED=∠AOC，
∴tan∠CMG=tan∠AOC=$\frac{QC}{OC}$=2，
∴$\frac{CG}{MG}$=tan∠CMG=2，
∴CG=2MG=4a，CD=CF=5a，
∵CH=2DH=4EH，CD=5a，
∴DH=$\sqrt{5}$a，CH=2$\sqrt{5}$a，EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴DF=2DH=2$\sqrt{5}$a，
∵CM=$\sqrt{M{G}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a=DF，
∴$\widehat{CM}$=$\widehat{CF}$，
∴DM=CF=CD=5a，
∵CE=CH+EH=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$a=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴a=1，
∴DM=5a=5．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线．构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．