Question

16．在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．

（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系∠1+∠2=180°时，a∥b；
（2）如图②，在（1）中，作射线BC，与直线a的交点为C，当∠3、∠4满足何种数量关系时，AB=AC？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I为△ABC的内切圆．
①求⊙I的半径；
②P为直线a上一点，若⊙I上存在两个点M、N，使∠MPN=60°，直接写出AP长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和邻补角的定义即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ACB=∠4，等量代换得到∠ACB=∠3，由等腰三角形的判定即可得到结论；
（3）①由（2）得AB=AC，推出△ABC是等腰直角三角形．根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，由⊙I为△ABC的内切圆，得到四边形ADIF是正方形．根据切线长定理得到r=AD=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=2-$\sqrt{2}$，于是得到结论；
②当点P在射线AC上时，得到0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$+2-$\sqrt{2}$，当点P在射线AC的反向延长线上时，得到0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$-2+$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∠1+∠2=180°，
故答案为：∠1+∠2=180°；

（2）当∠3=∠4时，AB=AC，
证明：∵a∥b，
∴∠ACB=∠4，
又∵∠3=∠4，
∴∠ACB=∠3，
∴AB=AC；

（3）①由（2）得AB=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴AC=2．
∴在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
设D、E、F分别为边AB、BC、AC上的切点，
连接ID、IE、IF，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADIF是矩形．
∵ID=IF，
∴矩形ADIF是正方形．
∴r=AD=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=2-$\sqrt{2}$．
∴⊙I的半径为2-$\sqrt{2}$；
②如图，当点P在射线AC上时，点M与F重合，N与E重合，∠MPN=60°，∴∠PNI=∠PIE=75°，∴∠FIP=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$FI=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，∴PA=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，∴0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$+2-$\sqrt{2}$，
同理，当点P在射线AC的反向延长线上时，0≤AP≤2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$-2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，内切圆的性质，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，证得矩形ADIF是正方形，是解决（3）小题的关键．