Question

15．已知，如图1，∠AOC=∠BOD=80°．设∠AOC和∠BOD的公共角∠BOC度数是m°（0＜m＜80）．
（1）用含m的代数式表示：∠COD的度数是80-m°，∠AOD的度数是160-m°．
（2）若∠AOD=4∠BOC，求m的值．
（3）如图2，当OM、ON分别是∠AOD、∠COD的角平分线时，∠MON的度数是否变化？若不变，求出∠MON的度数；若变化，请说明理由．
（4）若射线OP以每秒10°的速度从OA位置绕点O逆时针运动，同时，射线OQ以每秒5°的速度从OC位置绕点O顺时针运动，当OP在∠AOB内，OQ在∠BOC内时，如图3，在任何某一时刻，总有∠POB=2∠QOB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据角度的和、差即可求解；
（2）根据（1）以及∠AOD=4∠BOC即可列方程求解；
（3）根据∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠COD）-$\frac{1}{2}$∠AOC，求得∠MON的度数，即可判断；
（4）设运动的时间是t秒，则∠POB=（80-m）-10t，∠QOB=m-5t，根据PB=2BQ即可列方程求解．

解答 解：（1）∠COD=∠BOD-∠BOC=（80-m）°，
∠AOD=∠COD+∠AOC=80-m+80=160-m°；
故答案是：80-m，160-m；
（2）∵∠AOD=4∠BOC，
∴160-m=4m，
解得：m=32；
（3）∠MON是定值．
理由是：∵OM、ON是∠AOD和∠COD的平分线，
∴∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠NOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠COD）-$\frac{1}{2}$∠AOC=40°，
∴∠MON的度数是定值，是40°；
（4）设运动的时间是t秒，则∠POB=（80-m）-10t，∠QOB=m-5t，
∵PB=2BQ，
∴（80-m）-10t=2（m-5t），
∴m=$\frac{80}{3}$．

点评 本题考查了角度的计算，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．