Question

如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边

上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

 

Answer 1

 解：（1）连接OE．

∵OB=OE    ∴∠OBE=∠OEB                                        

∵BE是△ABC的角平分线    ∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC    ∴OE∥BC                                             

∵∠C=90°    ∴∠AEO=∠C=90°                                     

∴AC是⊙O的切线；       

（2）连接OF．

∵sinA=，∴∠A=30°          ∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，     ∴BC=AB=6   AC=6，

∴CE=AC﹣AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．

∴S梯形_OECF=（2+4）×2=6．     

 S_扇形EOF==      

∴S_阴影部分=S_梯形OECF﹣_S扇形EOF=6﹣．