Question

如图，△ABC中，以BC为直径的半圆交AB于点D，且AC²=AD•AB．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）O为半圆的圆心，OE⊥BD，已知BE=3，AD=2，求∠B的度数．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先根据三角形相似的判定由AC²=AD•AB得到△ACD∽△ABC，则∠ADC=∠ACB，再根据圆周角定理得到∠BDC=90°，所以∠ACB=90°，然后根据切线的判定得到CA是圆的切线；
（2）先根据垂径定理得DE=BE=3，则AB=8，再利用AC²=AD•AB计算出AC，然后根据正弦的定义求∠B的度数．

解答：（1）证明：∵AC²=AD•AB，即

AC

AD

=

AB

AC

，
而∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
而C是直径BC的端点，
∴CA是圆的切线；
（2）解：∵OE⊥BD，
∴DE=BE=3，
∴AB=BE+DE+AD=8，
∴AC²=AD•AB=16，
∴AC=4，
在Rt△ABC中，sinB=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和三角形相似的判定与性质．