Question

11．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax²+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax²-3atx+2t²a，所以有b²-$\frac{9}{2}$ac=0；我们记“K=b²-$\frac{9}{2}$ac”即K=0时，方程ax²+bx+c=0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x²-x-2=0；方程②x²-6x+8=0这两个方程中，是倍根方程的是②（填序号即可）；
（2）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，求4m²+5mn+n²的值；
（3）关于x的一元二次方程x²-$\sqrt{m}x+\frac{2}{3}$n=0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y=3x-8的图象上，求此倍根方程的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论；
（2）将方程（x-2）（mx+n）=0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出K=0，整理后即可得出4m²+5mn+n²的值；
（3）根据方程x²-$\sqrt{m}x+\frac{2}{3}$n=0（m≥0）是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，此题得解．

解答 解：（1）在方程①x²-x-2=0中，K=（-1）²-$\frac{9}{2}$×1×（-2）=10≠1；
在方程②x²-6x+8=0中，K=（-6）²-$\frac{9}{2}$×1×8=0．
∴是倍根方程的是②x²-6x+8=0．
故答案为：②．
（2）整理（x-2）（mx+n）=0得：mx²+（n-2m）x-2n=0，
∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，
∴K=（n-2m）²-$\frac{9}{2}$m•（-2n）=0，
∴4m²+5mn+n²=0．
（3）∵${x^2}-\sqrt{m}x+\frac{2}{3}n=0$是倍根方程，
∴$K={（-\sqrt{m}）^2}-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}n=0$，
整理得：m=3n．
∵A（m，n）在一次函数y=3x-8的图象上，
∴n=3m-8，
∴n=1，m=3，
∴此方程的表达式为${x^2}-\sqrt{3}x+\frac{2}{3}=0$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．