Question

在平面直角坐标系中，Rt△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）设点P为抛物线上到x轴的距离为1的点，点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B₁，求点P的坐标和△B₁PB的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如果过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．不难得出△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是A点纵坐标的绝对值，B的纵坐标就是A点的横坐标的绝对值，由此可得出B的坐标．
（2）已知了A，O的坐标，根据（1）求出的B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，然后根据B点的坐标得出B₁的坐标，那么BB₁就是三角形的底边，B的纵坐标与A的纵坐标的差的绝对值就是△PBB₁的高，由此可求出其面积．

解答：解：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．
在△ACO和△ODB中，

∠ACO=∠ODB ∠OAC=∠BOD AO=BO

，
∴△ACO≌△ODB（AAS）．
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．
（2）因抛物线过原点，
故可设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入，

a+b=3 9a-3b=1

，
解得：a=

5

6

，b=

13

6

故所求抛物线的解析式为y=

5

6

x²+

13

6

x．

（3）在抛物线y=

5

6

x²+

13

6

x．对称轴l的方程是x=-

b

2a

=-

13

10

．
点B₁是B关于抛物线的对称轴l的对称点，故B₁坐标（-

18

5

，3），
∴B₁B=1-（-

18

5

）=

23

5

．
由题意，设抛物线上到x轴的距离为1的点为P（k，1）或P（k，-1），则

5

6

k²+

13

6

k=1或

5

6

k²+

13

6

k=-1
即：5k²+13k-6=0或5k²+13k+6=0，
解得k₁=-3，k₂=

2

5

，k₃=-2，k₄=-

3

5

，
即抛物线上到x轴的距离为1的点为：
P₁（-3，1）、P₂（

2

5

，1）、P₃（-2，-1）、P₄（-

3

5

，-1）．
在△B₁P₁B中，底边B₁B=

23

5

，高的长为2，故S_△B1P1B=

1

2

×

23

5

×2=

23

5

，
同理S_△B2P2B=

46

5

，
∴△B₁PB=

46

5

．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识点，此题难度不大应熟练掌握．