Question

4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为直径，弦CA=CD，AB=5，BD=3，过C作CE⊥DB，垂足为F，交AB的延长线于E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求CE的长；
（3）求cos∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明EC是⊙O的切线，只要证明OC⊥EC即可；
（2）只要证明△ABD∽△EOC，利用$\frac{AD}{EC}$=$\frac{BD}{OC}$，求出相应的线段即可解决问题；
（3）在Rt△CMD中，求出DM、CD即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OC．
∵CA=CB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴CO⊥AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥DF，
∴CO∥DF，
∵DF⊥CE
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切线．

（2）在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵OC∥DF，
∴∠COE=∠ABD，∵∠ADB=∠OCE=90°，
∴△ABD∽△EOC，
∴$\frac{AD}{EC}$=$\frac{BD}{OC}$，
∴$\frac{4}{EC}$=$\frac{3}{\frac{5}{2}}$，
∴EC=$\frac{10}{3}$．

（3）延长OC交AD于M．
∵OM∥BD，OA=OB，
∴AM=DM=2，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
∴CM=OC+OM=4，
在Rt△CMD中，CD=$\sqrt{D{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠ADC=$\frac{DM}{CD}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、圆内接四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．