Question

17．在一堂关于“折纸问题”的数学综合实践探究课中，小明同学将一张矩形ABCD纸片，按如图进行折叠：分别在BC，AD两边上取两点E，F，使CE=AF，分别以DE，BF对对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C′DE与△A′BF，且边C′E与A′B交于点G，边A′F与C′D交于一点H．已知tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，A′G=6，C′G=1，则矩形纸片ABCD的周长为62．

Answer 1

分析 延长BA′交DE于M，作MN⊥C′D于N，由矩形的性质得出∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，由折叠的性质得出∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，由SAS证明△ABF≌△CDE（SAS），得出∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，由ASA证明△BEG≌△DFH，得出∠BGE=∠DHF，证出四边形MNC′G是矩形，得出MN=C′G=1，∠GMN=90°，设EG=3x，BG=4x，则BE=5x，CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，由三角函数求出DN=$\frac{3}{4}$，由勾股定理得出DM=$\frac{5}{4}$，再由三角函数得出方程，解方程求出x=2，得出AB=CD=14，AD=BC=17，即可得出矩形ABCD的周长．

解答 解：延长BA′交DE于M，作MN⊥C′D于N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，
由折叠的性质得：∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，
∴∠BEG=∠DFH，∠EBG=∠FDH，
∵CE=AF，
∴BE=DF，
在△BEG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠DFH}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\\{∠EBG=∠FDH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴∠BGE=∠DHF，
∵∠A′GC′=∠BGE，∠A′HC′=∠DHF，
∴∠BGE=∠DHF=∠A′HC′=∠A′GC′=（360°-90°-90°）÷2=90°，
∴四边形MNC′G是矩形，
∴MN=C′G=1，∠GMN=90°，
∴∠DMN=∠EBG，
∵tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，
∴设EG=3x，BG=4x，则BE=5x，
∴CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，
∵tan∠DMN=$\frac{DN}{MN}$=tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，MN=1，
∴DN=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\frac{5}{4}$，
∵tan∠EBG=$\frac{CM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{4x+6-\frac{5}{4}}{3x+1+5x}$，解得：x=2，
∴AB=CD=14，AD=BC=17，
∴矩形ABCD的周长=2（14+17）=62．
故答案为：62．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．