Question

7．如图，在直角坐标系中，直线y₁=2x-2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论：
①当x＞0时，y₁随x的增大而增大，y₂随x的增大而减小；
②k=4；
③当0＜x＜2时，y₁＜y₂；
④如图，当x=4时，EF=4．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y₁＜y₂时x的范围，以及y₁与y₂的增减性，把x=2分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．

解答 解：对于直线y₁=2x-2，
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，
∴A（1，0），B（0，-2），即OA=1，OB=2，
在△OBA和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠ADC=90°}\\{∠OAB=∠DAC}\\{OA=AD}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△CDA（AAS），
∴CD=OB=2，OA=AD=1，
∴C（2，2），
当x＞0时，y₁随x的增大而增大，y₂随x的增大而减小；故①正确；
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，故②正确；
由函数图象得：当0＜x＜2时，y₁＜y₂，选项③正确；
当x=4时，y₁=6，y₂=1，即EF=6-1=5，选项④错误；
故选C

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．