Question

7．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点C，D的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）根据题意设出点M的坐标，表示出点N坐标，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形只要AC=MN，用它建立方程求出m即可．

解答 解：（1）∵过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点，
∴点C（1，3），D（3，1），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点，
∴c=0，a+b=3，9a+3b=1．
∴a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{13}{3}$，c=0，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x，
（2）∵A（1，0），C（1.3），
∴AC=3，
∵AC⊥x轴，MN⊥x轴，
∴AC∥MN，
∵以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴AC=MN，
∵点D坐标为（3，1），
∴直线OD解析式为y=$\frac{1}{3}$x，
∵点M为直线OD上的一个动点，
∴设M（m，$\frac{1}{3}$m），
∴N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m），
∴MN=|-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m-$\frac{1}{3}$m|=$\frac{1}{3}$|4m²-12m|，
∵AC=MN，
∴$\frac{1}{3}$|4m²-12m|=3，
∴|4m²-12m|=9，
①当4m²-12m＞0时，即m＜0，或m＞4，
∴4m²-12m=9，
∴m=$\frac{3±3\sqrt{2}}{2}$，
∴点M的横坐标为$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$，
②当4m²-12m＜0时，即0＜m＜4，
∴4m²-12m=-9，
∴m=$\frac{3}{2}$，
即：存在符合条件的点M，求此时点M的横坐标为$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，绝对值方程，用待定系数法求抛物线解析式是解本题的关键．