Question

3．如图，一次函数y=2x-2与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点C，E，与x轴相交于点D，过点D作DA⊥x轴交反比例函数的图象于点A，过点C作CB⊥x轴于点B．
（1）若点A与点E关于原点对称，求$\frac{CB}{AD}$的值；
（2）连接AC，若∠CAD=45°，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先求得D点坐标，则可求得A点横坐标，利用对称性可知E点横坐标，则可求得E点和A点坐标，从而可求得反比例函数解析式，联立两函数解析式可求得C点坐标，从而可求得AD和CB的值，可求得其比值；
（2）可设C（x，y），过C作CF⊥AD于点F，则CF=AF，可表示出A点坐标，代入反比例函数解析式，把C点坐标代入直线解析式，则可得到关于x、y的方程组，可求得C点坐标．

解答 解：
（1）在y=2x-2中，令y=0可求得x=1，
∴A（1，k），
∵A、E关于原点对称，
∴E（-1，-k），
∵点E在直线y=2x-2上，
∴-k=-2-2，解得k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2），且A（1，4），
∴BC=2，AD=4，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$；

（2）设C（x，y），则BC=y，BD=x-1，
如图，过C作CF⊥AD于点F，

∵∠CAD=45°，
∴AF=CF=BD=x-1，DF=BC=y，
∴AD=x-1+y，
∴A（1，x-1+y），
∵A、C都在反比例函数图象上，
∴x-1+y=xy，
∵点C在一次函数图象上，
∴y=2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1+y=xy}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（不合题意，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{3}{2}$，1）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、对称的性质、等腰直角三角形的性质、方程思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中找到C点坐标所满足的两个关系式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．