Question

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OD，直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；
（2）首先证明证明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的长；再证明ACD∽△AEC，得到AC²=AD•AE；最后由相似三角形的性质即可求出DE的长．

解答 解：（1）证明：连接OD．
∵OD=CD，
∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，
∴DF=CF．
∴∠FDC=∠FCD．
∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°．
∴DF是⊙O的切线；                     
（2）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；
②由AB=a，求出AC的长度为$\sqrt{2}a$；
③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC²=AD•AE；
④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．
解：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，
∴△ACD∽△AEC，
∴AC：AE=AD：AC，
∴AC²=AD•AE，
设DE为x，
∵AD：DE=4：1，
∴AD=4x，
∴（$\sqrt{2}$a）²=20x²，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．
即DE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a．

点评 此题主要考查了圆的切线的判定以及性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识，结合圆的性质和已知条件证明△ACD∽△AEC是解题关键．