Question

【题目】

（发现）如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC．（不需要证明）

（探究）如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．

（应用）在（探究）的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：　 　．（只添加一个条件）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC=BD．

【解析】

探究：连结AC，由四个中点可得EF∥AC且EF=AC、GH∥AC且GH=AC，据此可得EF∥GH，且EF=GH，从而得证；

应用：添加AC=BD，连接BD，由EF=AC、EH=BD，且AC=BD知EF=EH，根据四边形EFGH是平行四边形即可得证；

探究：平行四边形，

证明：连结AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，且EF=AC．

∵G、H分别是CD、AD的中点，

∴GH∥AC，且GH=AC．

∴EF∥GH，且EF=GH．

∴四边形EFGH是平行四边形．

应用：

AC=BD；

连接BD，

∵EF=AC、EH=BD，且AC=BD，

∴EF=EH，

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形．

故答案为：AC=BD．