Question

已知：二次函数y=ax²+2ax-4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）①填空：二次函数图象的对称轴为

 

；
②求二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（-2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求点P的横坐标；
（3）点E在x轴的正半轴上，∠OAE＞45°，点O与点O′关于EC所在直线对称．作ON⊥EO′于点N，交EC于点M．若EM•EC=32，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；
②当x=0时，y=-4，可求点C的坐标为（0，-4），根据三角形面积公式可求AB=6．进一步得到A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．待定系数法可求二次函数的解析式
（2）作DF⊥x轴于点F．分两种情况：（ⅰ）当点P在直线AD的下方时；（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，两种情况讨论可求点P₁的坐标；
（3）连接OCO′，交CE于T．连接CO′C．根据三角函数的整数可得OE²=ET•EC=32+TM•EC．同理OC²=CT•EC=TM•EC=16．得到OE=4

3

，从而得到点E的坐标．

解答：解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线x=-1；
故答案为：x=-1．

②∵当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
∵S_△ABC=

1

2

AB•|y_C|=12，
∴AB=6．
又∵点A，B关于直线x=-1对称，
∴A点和B点的坐标分别为（-4，0），（2，0）．
∴4a+4a-4=0，解得a=

1

2

．
∴所求二次函数的解析式为y=

1

2

x²+x-4．

（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：
（ⅰ）当点P在直线AD的下方时，如图所示．
由（1）得点A（-4，0），点D（-2，1），
∴DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，得tan∠ADF=

AF

DF

=2．
延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．
∴点P₁的坐标为（-2，-4）．
（ⅱ）当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．
可证△GHA≌△P₁FA．
∴HA=AF，GH=P₁F，GA=P₁A．
又∵A（-4，0），P₁（-2，-4），
∴点G的坐标是（-6，4）．
在△ADP₁中，
DA=

5

，DP₁=5，
AP₁=2

5

，
∴DA²+AP₁²=DP₁²
∴∠DAP₁=90°．
∴DA⊥GP₁．
∴DG=DP₁．
∴∠ADG=∠ADP₁．
∴tan∠ADG=tan∠ADP₁=2．
设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．
作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．
设P₂点的坐标为（x，

1

2

x²+x-4），
则P₂S=

1

2

x²+x-4-1=

1

2

x²+x-5，DS=-2-x．
由

P2S

GK

=

DS

DK

，GK=3，DK=4，得

1 2 x2+x-5

3

=

-2-x

4

．
整理，得2x²+7x-14=0．
解得x=

-7± 161

4

．
∵P₂点在第二象限，
∴P₂点的横坐标为x=

-7- 161

4

（舍正）．
综上，P点的横坐标为-2或

-7- 161

4

．

（3）如图，连接OO′，交CE于T．连接CO′C．
∵点O与点O′关于EC所在直线对称，
∴OO′⊥CE，∠OCE=∠O′CE，∠CO′E=∠COE=90°，
O′C⊥O′E．
∵ON⊥O′E，
∴O′C∥ON．
∴∠OMC=∠O′CE=∠OCE．
∴OC=OM．
∴CT=MT．
∵在Rt△ETO中，∠ETO=90°，cos∠OEC=

ET

OE

，
在Rt△COE中，∠COE=90°，cos∠OEC=

OE

EC

，
∴

OE

EC

=

ET

OE

．
∴OE²=ET•EC
=（EM+TM）•EC
=EM•EC+TM•EC
=32+TM•EC．
同理OC²=CT•EC=TM•EC=16．
∴OE²=32+16=48．
∵OE＞0，
∴OE=4

3

．
∵点E在x轴的正半轴上，
∴E点的坐标为（4

3

，0）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：对称轴坐标公式，坐标轴上点的坐标特征，三角形面积公式，待定系数法可求二次函数的解析式，分类思想，三角函数．综合性较强，有一定的难度．