题目内容

11．如图，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，AD=6，求CD的长，小明同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD和△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB，FC交于M点，判断四边形AEMF的形状，并说明理由；
（2）设CD=x，利用勾股定理，在△BCM中建立关于x的方程模型，并求出x的值．

分析 （1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEMF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型42+（6-x）2=（2+x）2，求出CD即可．

解答 解：（1）四边形AEMF是正方形，
理由：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四边形AEMF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEMF是正方形．

（2）设CD=x，则FC=x．
∵BD=2，EM=FM=6，
∴BM=6-2=4，CM=6-x，BC=2+x，
在Rt△BMC中，BM2+CM2=BC2，
∴42+（6-x）2=（2+x）2．
解得x=3，
所以CD=x=3．

点评 本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．

练习册系列答案
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A．4个B．3个C．2个D．1个

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