如图1.在Rt△ABC中.∠B=90°.∠CAB=30°.AC⊥x轴.顶点A.顶点B．点P从点A出发.沿A→B→C的方向匀速运动.同时点Q从点D(0.2)出发.沿y轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时.两点同时停止运动.设运动的时间为t秒．(1)当点P在AB上运动时.△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分.求点P的运动速度,中面积S与时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，AC⊥x轴，顶点A（10，0），顶点B（5，5$\sqrt{3}$）．点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求点P的运动速度；
（2）求题（1）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持题（1）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ？

分析（1）如图1，过B作BE⊥x轴于E，根据两点间的距离公式可求AB，再利用图2中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；
（2）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；
（3）分两种情况：当P在AB上时，当P在BC上时，列方程解决问题．

解答解：（1）如图1，过B作BE⊥x轴于E，
∵顶点B的坐标为（5，5$\sqrt{3}$），A（10，0），
∴AB=10，
由图2可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，
因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
故点P的运动速度为2个单位/秒；

（2）如图1，过P作PM⊥x轴于M，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，
又∵OA=10，
∴OM=（10-t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，
∵DQ=2t，OD=2，
∴OQ=2t+2，
∴P（10-t，$\sqrt{3}$t）（0≤t≤5），
∵S=$\frac{1}{2}$OQ•OM=$\frac{1}{2}$（2t+2）（10-t），
=-（t-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{121}{4}$．
∴当t=$\frac{9}{2}$时，S有最大值为$\frac{121}{4}$，此时P（$\frac{11}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

（3）根据题意可知，当点P的纵坐标等于点Q纵坐标的$\frac{1}{2}$时，PO=PQ，
当P在AB上时，P（10-t，$\sqrt{3}$t，Q（0，2+2t），得$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
当P在BC上时，P（$\sqrt{3}$t-5$\sqrt{3}$+5，$\frac{2t-10}{2}$+5$\sqrt{3}$），Q（0，2+2t），得$\frac{2t-10}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$，
此方程无解，故t不存在，
综上所知，当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$时，PO=PQ．

点评此题主要考查二次函数综合题，涉及二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透，综合性较强，有一定的难度．

练习册系列答案

	A．	B点表示此时快车到达乙地
	B．	B-C-D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
	C．	快车的速度为166$\frac{2}{3}$km/h
	D．	慢车的速度为125km/h

试题分类