Question

【题目】如图，抛物线，经过点，，三点．

求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；

点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；M（1,4）

（2）当，面积最大，最大为.

（３）

【解析】

（1）抛物线过，，可求得解析式；

（2）将用含的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；

（3）根据选址造桥模型，将顶点向下平移三个单位得，当 在同一条直线上时，取得最小值.

(1)∵抛物线经过点，，,

∴ 解得

∴=,顶点M的坐标为（1,4）

（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的坐标为 ，如图所示.

∵P在直线MB上，，，设直线MB为

解得

直线MB的解析式为，P点坐标为

∵，，，

∴，，

∵

整理

∴即当，面积最大，最大为.

（3）将顶点向下平移三个单位得 ，连接 交轴于点，连接．如图所示，则.

∵，

∴轴，且

∴，四边形为平行四边形

∴,有图知三点共线时，取最小值.

设直线的解析式为，将点，N

求得直线的解析式为，

当时，，即，即，

此时过点作轴交延长线与点，

在中，，，

∴,

∴,即,

∴当时，的最小值为.