Question

如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，然后顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁四边的中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂，再顺次连接四边形A₂B₂C₂D₂四边的中点，得到四边形A₃B₃C₃D₃，…，按此方法得到的四边形A₈B₈C₈D₈的周长为

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：压轴题,规律型

分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A₈B₈C₈D₈的周长．

解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A₁B₁C₁D₁，则得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，即

1

2

，则周长是正方形ABCD的

2

2

；
顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁中点得正方形A₂B₂C₂D₂，则正方形A₂B₂C₂D₂的面积为正方形A₁B₁C₁D₁面积的一半，即正方形ABCD的

1

4

，则周长是正方形ABCD的

1

2

；
顺次连接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，则正方形A₃B₃C₃D₃的面积为正方形A₂B₂C₂D₂面积的一半，即正方形ABCD的

1

8

，则周长是正方形ABCD的

2

4

；
顺次连接正方形A₃B₃C₃D₃中点得正方形A₄B₄C₄D₄，则正方形A₄B₄C₄D₄的面积为正方形A₃B₃C₃D₃面积的一半，即正方形ABCD的

1

16

，则周长是正方形ABCD的

1

4

；
…
故第n个正方形周长是原来的

1 2n

，
以此类推：正方形A₈B₈C₈D₈周长是原来的

1

16

，
∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，
∴按此方法得到的四边形A₈B₈C₈D₈的周长为

1

4

，
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．