Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=

1

2

AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
从而∠1=∠3，
∵AD=6，
∴CD=AD=6，
过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=

1

2

AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴

CD

BC

=

CE

AC

，
即

6

BC

=

1

2

，
∴BC=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=

BC2-AB2

=

122-42

=8

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．