Question

1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，以PQ为直径作⊙O，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）在点Q从B到A的运动过程中，当t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$时，⊙O与△ABC某条边相切．
（2）伴随着P、Q两点的运动，过O作直径PQ的垂线l，在整个过程中：
①直线l1次过C点；
②如图2，当l过点A时，过A作BC的平行线AE，交射线QP于点E，求△AQE的面积；
③当l经过点B时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线与圆相切时分与AC和AB相切两种情况分析，利用相似三角形得出t的数值即可；
（2）①根据分析得出直线l为PQ的垂直平分线，故当CP=CQ时经过C点；
②取AC的中点M，利用三角形的中位线得出AE=3，再利用三角形面积计算即可；
③分当0＜t≤3时和当3＜t≤5时两种情况进行分析解答．

解答 解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=5，
（1）当⊙O与AC相切时，
∴PQ⊥AC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∵AP=t，AQ=3-t，
∴$\frac{t}{3}=\frac{3-t}{5}$，
解得t=$\frac{9}{8}$，
当⊙O与AB相切时，
∴PQ⊥AB，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
∵AP=t，AQ=3-t，
∴$\frac{t}{5}=\frac{3-t}{3}$，
解得：t=$\frac{15}{8}$，
∴在点Q从B到A的运动过程中，当t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$时，⊙O与△ABC某条边相切；
故答案为：$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$；
（2）①直线l为PQ的垂直平分线，故当CP=CQ时经过C点，
故只有一次，
故答案为：1；
②∵l过A点，AO⊥PQ，
可得AQ=AP，
∴3-t=t，
解得：t=1.5，
∴Q是AB的中点，取AC的中点M，如图1：

则QM为△ABC的中位线，
∴QM∥BC，QM=2，
∵AE∥BC，
∴AE∥QM，
∴△AEP∽△MQP，
∴$\frac{AE}{QM}=\frac{AP}{MP}$，
∴$\frac{AE}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{1}$，
∴AE=3，
∴${S}_{△AQE}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$；
③连接BP，如备用图1：

当0＜t≤3时，
BQ=BP=AP，
∴∠A=∠PBA，
∴∠C=∠1，
∴PB=PC，
即BQ=PC，
∴t=5-t，
解得：t=2.5；
当3＜t≤5时，
BQ=6-t，
∴BP=6-t，
过P作PG⊥BC于G，如备用图2：

∴PG=$\frac{3}{5}（5-t）$，CG=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∴BG=$4-\frac{4}{5}（5-t）$，
在Rt△PBG中，PB²=BG²+PG²，
∴$（6-t）^{2}=[4-\frac{4}{5}（5-t）]^{2}+[\frac{3}{5}（5-t）]^{2}$，
解得：$t=\frac{45}{14}$，
所以当l经过B点时，t=2.5或t=$\frac{45}{14}$．

点评 此题考查圆的综合题，关键是利用直线与圆的相切时分与AC和AB相切两种情况分析．