题目内容
请你先阅读下面的问题和证明，然后解答问题1?问题3．
已知，如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°．分别以AB，AC为边向形外作等边△ABD和等边△ACE，连结DE交AB于点F．易证：DF=EF．
问题1：在上面的证明过程中，使用了“易证“二字．请你把“易证“的理由补写出来．
问题2：对于原问题，如果去掉条件∠ACB=90°，其他条件不变，如图3，试探究结论DF=EF是否成立？并说明理由．
问题3：将原问题的条件改变如下：如图3，AB平分∠DBC，△ABD∽△CAE，再次探究结论DF=EF是否成立？并说明理由．
已知，如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°．分别以AB，AC为边向形外作等边△ABD和等边△ACE，连结DE交AB于点F．易证：DF=EF．
问题1：在上面的证明过程中，使用了“易证“二字．请你把“易证“的理由补写出来．
问题2：对于原问题，如果去掉条件∠ACB=90°，其他条件不变，如图3，试探究结论DF=EF是否成立？并说明理由．
问题3：将原问题的条件改变如下：如图3，AB平分∠DBC，△ABD∽△CAE，再次探究结论DF=EF是否成立？并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）作DG⊥AB，易证△ABC≌△DBG，可得DG=AC，即可证明△DGF≌△EAF，可得DF=EF；
（2）作DG∥AE，连接EG，易证∠BAC=∠BDG，即可证明△ABC≌△DBG，可得DG=AC，即可判定四边形AEGD为平行四边形，即可解题；
（3）作DG∥AE，易证△EAF∽△DGF，可得
=
，易证△BDG∽△BAC，可得
=
，根据△ABD∽△CAE可得
=
，即可解题．
（2）作DG∥AE，连接EG，易证∠BAC=∠BDG，即可证明△ABC≌△DBG，可得DG=AC，即可判定四边形AEGD为平行四边形，即可解题；
（3）作DG∥AE，易证△EAF∽△DGF，可得
| DG |
| AE |
| DF |
| EF |
| DG |
| AC |
| BD |
| AB |
| AB |
| BD |
| AC |
| AE |
解答：证明：（1）作DG⊥AB，
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵△ACE、△BDG为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∴∠EAF=90°，∠BDG=30°，
在△ABC和△DBG中，
，
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
，
∴△DGF≌△EAF，（AAS）
∴DF=EF；
（2）作DG∥AE，连接EG，
∵△ACE、△BDG为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
在△ABC和△DBG中，
，
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴DF=EF；
（3）作DG∥AE，
∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，△EAF∽△DGF，
∴
=
，
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
∵AB平分∠DBC，∴△BDG∽△BAC，∴
=
，即DG=
，
∴
=
，
∵△ABD∽△CAE，
∴
=
，
∴
=
=1，即DF=EF．
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵△ACE、△BDG为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∴∠EAF=90°，∠BDG=30°，
在△ABC和△DBG中，
|
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
|
∴△DGF≌△EAF，（AAS）
∴DF=EF；
（2）作DG∥AE，连接EG，
∵△ACE、△BDG为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，∠ABD=60°，AB=BD，
∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
在△ABC和△DBG中，
|
∴△ABC≌△DBG，（AAS）∴DG=AC，∴DG=AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴DF=EF；
（3）作DG∥AE，
∵DG∥AE，
∴∠EAF=∠DGF，△EAF∽△DGF，
∴
| DG |
| AE |
| DF |
| EF |
∵∠DGF=∠ABD+∠BDG，∠EAF=∠CAE+∠BAC，∴∠BAC=∠BDG，
∵AB平分∠DBC，∴△BDG∽△BAC，∴
| DG |
| AC |
| BD |
| AB |
| BD•AC |
| AB |
∴
| DF |
| EF |
| BD•AC |
| AB•AE |
∵△ABD∽△CAE，
∴
| AB |
| BD |
| AC |
| AE |
∴
| DF |
| EF |
| BD•AC |
| AB•AE |
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△ABC≌△DBG和△DGF≌△EAF是解题的关键．
练习册系列答案
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