Question

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求$\widehat{CD}$的长；
（Ⅱ）若$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；
（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=$\frac{1}{2}∠$CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．

解答 解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴$\widehat{CD}$的长=$\frac{90}{180}$×π×2=π；
（Ⅱ）∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP=$\frac{1}{2}∠$CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．