Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD=3cm。

（1）求⊙O的直径。
（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t（0≤t≤2），连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∠A=30°， ∴∠ABC=60°， 连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD=90°， 在△OBC中，∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴∠OCB=60°， ∴∠BCD=30°， 又∠OBC=∠BCD+∠D， ∴∠D=30°， ∴AC=CD=3， 在Rt△ABC中，cosA=， ∴AB==6（cm）；
（2）△BMN中， ①当∠BNM=90°时，cos∠MBC=，即cos60°=， ∴t=1， 此时BM=3，BN=1.5，MN=， ∴S△BMN=BN·MN=（cm2）； ②当∠NMB=90°时，cos∠MBC=，即cos60°=， ∴t=1.6， 此时BM=BN=MN=， ∴S△BMN=BM·MN=×（cm2）。