题目内容

阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥2
ab
，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）P为双曲线y=
12
x
(x＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
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分析：（1）由题意得，两个正数相加，只有在相等的情况下，才有最小值，而倒数等于它本身的正数只有1；
（2）①由点D所在的不同位置，利用a和b所在的三角形相似来求得相应的关系；
②应根据对角线互相垂直的四边形的面积的求法以及设出的点P的坐标来得到相应结论．
解答：解：（1）关键题意得m=1（填
1
m
不扣分），最小值为2；

（2）①∵AB是⊙O的直径，精英家教网
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD2=AD•DB，
∴CD=
ab
，
若点D与O不重合，连OC，
在Rt△OCD中，∵OC＞CD，
∴
a+b
2
＞
ab
，
若点D与O重合时，OC=CD，
∴
a+b
2
=
ab
，
综上所述，
a+b
2
≥
ab
，即a+b≥2
ab
，当CD等于半径时，等号成立；
②探索应用：设P（x，
12
x
），
则C（x，0），D（0，
12
x
），CA=x+3，DB=
12
x
+4，
∴S四边形ABCD=
1
2
CA×DB=
1
2
（x+3）×（
12
x
+4），
化简得：S=2（x+
9
x
）+12，
∵x＞0，
9
x
＞0，
∴x+
9
x
≥2
x×
9
x
=6，
只有当x=
9
x
，即x=3时，等号成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四边形ABCD是菱形．
点评：此题利用了正数中倒数等于它本身的正数只有1解决问题．在后面的问题中注意使用圆中所给线段所在三角形的相似以及特殊四边形的面积的求法．
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a
-
b
)2≥0，所以a-2
ab
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ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
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时，m+
1
m
有最小值
 
；
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结论：在a+b≥2
ab
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p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
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时，m+
1
m
有最小值
 
．
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∵（
a
-
b
）2≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2
p
，
当a=b，a+b有最小值2
p
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根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，x+
4
x
的最小值为
 
．
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6
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-
b
)2≥0，∴a-2
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+b≥0，∴a+b≥2
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，只有当a=b时，等号成立．若ab为定值P，则a+b≥2
P
，只有当a=b时，a+b有最小值2
P
．
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ab
，并指出等号成立时的条件．

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1
1
时，m+
1
m
有最小值为
2
2
．
②如图2所示：A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线y=
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x
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p
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1
1
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