Question

【题目】如图，内接于⊙，是⊙的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.

（1）求证：是⊙的切线；（2）若⊙的半径为，，求、的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），.

【解析】

（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；

（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

（1）∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAF+∠FAC=90°，

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，

∴∠D+∠AOD=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）连接BF，

∵∠FAC=∠AOD，

∴△ACE∽△OCA，

∴，

∴，

∴AC=AE=，

∵∠CAE=∠CBF，

∴△ACE∽△BFE，

∴，

∴，

∴．