Question

如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：AC•AB=AD•AE；
（2）若AB=8，AC=5，AD=4，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接CE，两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出比例证明．
（2）由（1）可知AC•AB=AD•AE，根据已知数据可求出AE的长，即圆的直径所以半径可求，利用圆的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：连接CE；
由圆周角定理可知，∠B=∠E，
∵∠ADB=∠ACE=90°，∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE．
∴AB：AE=AD：AC，
∴AC•AB=AD•AE；

（2）∵AC•AB=AD•AE，AB=8，AC=5，AD=4，
∴5×8=4×AE，
∴AE=10，
∴⊙O的半径AO=5，
∴⊙O的面积为25π．

点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及圆的面积公式的运用，题目综合性较强，难度不大，是一道不错的中考题．