Question

如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB。设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S₁，AE，EB，BA围成的图形面积为S₂（这里规定：线段的面积为0），E到达C，F到达A停止，若E的运动时间为xs，解答下列问题：

（1）当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S₁=S₂；
（2）①若y是S₁与S₂的和，求y与x之间的函数关系式。（图②为备用图）
②求y的最大值。

Answer 1

解：（1）以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形； ∵正方形边长为8， ∴AC=16， ∵AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=8， ∴S2=4x， ∵HE=x，EF=16-2x， ∴S1=x（16-2x）， 当S1=S2时，x（16-2x）=4x， 解得x1=0（舍去），x2=6， ∴当x=6时，S1=S2； （2）①当0≤x＜8时，y=x（16-2x）+4x=-2x2+20x， 当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16， ∴S1=（16-x）（2x-16）， ∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x2+52x-256； ②当0≤x＜8时，y=-2x2+20x=-2（x2-10x+25）+50=-2（x-5）2+50， ∴当x=5时，y的最大值为50， 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2（x-13）2+82， ∴当x=13时，y的最大值为82， 综上可得，y的最大值为82。