题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=- $数学公式$ x+ $数学公式$ 交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．
（1）求图A中的点B的坐标；
（2）求α的值；
（3）若二次函数y=mx²+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．

解：（1）∵直线y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 交x轴于点C，交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），点C的坐标为（2，0）．
∵等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，
∴OD=2，∠BOD=45°．
过点B作BM⊥OC于M．
∴OM= $\text{[math]}$ ．
∴BM=1，OB= $\text{[math]}$ ．
∴点B的坐标为（1，1）

（2）∵OA= $\text{[math]}$ ，OC=2，∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°．
过点O作OE⊥AC于E．
∴OE=1．
∵在Rt△B′EO中，OB′= $\text{[math]}$ ，OE=1，
∴∠B′OE=45°．
∴∠EOD=90°．
又∵∠EOC=60°，
∴∠COD=30°．
∴α=30°．

（3）判断：点B'在这条抛物线上．
理由：∵点B'在直线AC上，
∴点B'的坐标为（a，- $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）．
∵a²+（- $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）²=OB'²，
∴a²+（- $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²．
解方程，得a₁= $\text{[math]}$ ，a₂= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）．
∴点B'的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
又∵二次函数y=mx²+3x过B（1，1），
∴m=-2．
∴二次函数的解析式为y=-2x²+3x．把x= $\text{[math]}$ 代入y=-2x²+3x，得y= $\text{[math]}$
∴点B'在这条抛物线上．
（注：对于每题的不同解法，请老师们根据评分标准酌情给分．）
分析：（1）根据直线y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 交x轴于点C，交y轴于点A，得出DO的长，进而得出B点坐标；
（2）根据已知得出在Rt△B′EO中，OB′= $\text{[math]}$ ，OE=1，得出∠EOD=90°，进而得出∠COD=30°；
（3）首先得出点B'的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），进而求出m的值，将B′点代入解析式，即可得出B′是否在这条抛物线上．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出B′点坐标是解题关键．