Question

【题目】已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE

(1) 如图1，连接BG、DE，求证：BG＝DE

(2) 如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD

① 求∠BDE的度数

② 若正方形ABCD的边长是，请直接写出正方形CEFG的边长____________

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①∠BDE=60°；②1.

【解析】

（1）根据正方形的性质可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，再证明△BCG≌△DCE就可以得出结论；

（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG=BE得出△BDE为正三角形就可以得出结论；

②延长EC交BD于点H，通过证明△BCE≌△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH=BD，由勾股定理就可以求出EH的值，从而求出结论．

(1)证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，

∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠GCE=90°.

∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，

∴∠BCG=∠DCE.

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE(SAS).

∴BG=DE；

(2)①连接BE.

由(1)可知：BG=DE.

∵CG∥BD，

∴∠DCG=∠BDC=45°.

∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°.

∵∠GCE=90°，

∴∠BCE=360°∠BCG∠GCE=360°135°90°=135°.

∴∠BCG=∠BCE.

∵BC=BC，CG=CE，

在△BCG和△BCE中，

,

∴△BCG≌△BCE(SAS).

∴BG=BE.

∵BG=BD=DE，

∴BD=BE=DE.

∴△BDE为等边三角形。

∴∠BDE=60°.

②延长EC交BD于点H，

在△BCE和△DCE中，

，

∴△BCE≌△BCG(SSS)，

∴∠BEC=∠DEC，

∴EH⊥BD,BH=BD.

∵BC=CD=，在Rt△BCD中由勾股定理，得

∴BD=2.

∴BH=1.

∴CH=1.

在Rt△BHE中，由勾股定理，得

EH=，

∴CE=1.

∴正方形CEFG的边长为1.