题目内容
17．
如图，矩形ABCD中，AB=2AD，A、D在半圆O上，B、C在半圆O的直径MN上，另一个矩形BFEG紧靠着矩形ABCD，F在AB上，E在半圆O上，G在直径MN上，且GE=2BG=4，则矩形ABCD的面积为（ ）| A． | $\frac{25}{2}$ | B． | 12 | C． | 15 | D． | $\frac{27}{2}$ |
分析 连接OA，OE，根据矩形ABCD中，AB=2AD可知点O是BC的中点，设OB=x，⊙O的半径为r，则AB=4x，根据勾股定理列出x，r的关系式，同理，在Rt△OEG中列出关于x，r的关系式，两式联立求出x的值，进而可得出结论．
解答 
解：连接OA，OE，
∵矩形ABCD中，AB=2AD，
∴点O是BC的中点，
设OB=x，⊙O的半径为r，则AB=4x，
∵AB2+OB2=OA2，即（4x）2+x2=r2①．
∵GE=2BG=4，
∴BG=2．
在Rt△OEG中，
∵EG2+OG2=OE2，即42+（2+x）2=r2②，
①②联立得，x=$\frac{5}{4}$，
∴BC=2x=$\frac{5}{2}$，AB=4x=5，
∴矩形ABCD的面积=$\frac{5}{2}$×5=$\frac{25}{2}$．
故选A．
点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
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12．
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如图，点P在半径为3的⊙O内，OP=$\sqrt{3}$，A为⊙O上一点，当∠OAP取最大值时，PA的长等于（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\sqrt{6}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |
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