题目内容

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的 $数学公式$ 上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在 $数学公式$ 上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

解：（1）当然是GH不变，
重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，
如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变，
PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
则GH= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ OP）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ×6）=2；

（2）延长OG交PH于点K，延长HG交OP于点F，
∵△PGH为Rt△，FG= $\text{[math]}$ GH=1，PF= $\text{[math]}$ OP=3，
∴PG=2 $\text{[math]}$ ，
∴PH= $\text{[math]}$ ，
∴KG= $\text{[math]}$ ∴OG= $\text{[math]}$
∴OG：PG：HG= $\text{[math]}$ ：2 $\text{[math]}$ ：2= $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ：1；

（3）△PGH是等腰三角形有3种可能性，
①当GP=PH时，PH= $\text{[math]}$ ，
②当GP=GH时，PH=0（不存在），
③当PH=GH时，PH=2，
∴PH= $\text{[math]}$ 或PH=2．
分析：（1）由题意可知：重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边，也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度，进而求得GH的长度；
（2）延长PG交OA于C，则y= $\text{[math]}$ ×PC；分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式；
（3）分别讨论GH=PG，GH=PH，PH=PG这三种情况，根据（2）中的解析式可以分别求得x的值．
点评：本题主要考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质，综合性比较强，难度较大．