Question

如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6

3

cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．

Answer 1

分析：设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理可知AC=

1

2

AB=3

3

，解直角三角形得∠AOC的度数，由垂径定理可知，∠AOB=2∠AOC，由圆周角定理得∠P=

1

2

∠AOB，利用∠P与∠P′的互余关系求∠P′．

解答：解：如图，设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，
连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，
由垂径定理，得AC=

1

2

AB=3

3

，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=

AC

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根据圆周角定理，得∠P=

1

2

∠AOB=60°，
又APBP′为圆内接四边形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°

点评：本题考查了垂径定理，解直角三角形的运用．关键是连接半径，将问题转化到直角三角形中，解直角三角形求圆心角，再求圆周角，注意弦所对的圆周角有两个，它们互补．