Question

20．如图，直线y=ax+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于不同的两点A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），与x轴交于点P（x₀，0），与y轴交于点C．
（1）若b=3，x₀=6，且AB=BP，求A，B两点的坐标；
（2）猜想x₁，x₂，x₀之间的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由b=3即点P坐标（6，0）可得出直线的解析式，令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，解关于x的方程，即可得出x₁、x₂的值，结合AB=BP即可得出关于k的方程，解方程即可得出k值，代入到x₁、x₂中即可得出A、B的横坐标，结合直线的解析式即能得出结论；
（2）猜测x₁+x₂=x₀．令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，用含a、b、k的代数式来表示出x₁、x₂，再令直线y=ax+b=0，用a、b表示出来x₀，将x₁、x₂相加即可证明结论成立．

解答 解：（1）当b=3，x₀=6时，点P的坐标为（6，0），
将点P代入y=ax+3中得：0=6a+3，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
令y=-$\frac{1}{2}$x+3=$\frac{k}{x}$，即$\frac{1}{2}$x²-3x+k=0，
解得：x₁=$\frac{-（-3）-\sqrt{9-2k}}{2×\frac{1}{2}}$=3-$\sqrt{9-2k}$，x₂=3+$\sqrt{9-2k}$，
∵AB=BP，
∴3+$\sqrt{9-2k}$-（3-$\sqrt{9-2k}$）=6-（3+$\sqrt{9-2k}$），
解得：k=4．
此时x₁=2，x₂=4，
故点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1）．
（2）猜测x₁+x₂=x₀．
证明：（方法一）令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，即ax²+bx-k=0，
解得：x₁=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4ak}}{2a}$，x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4ak}}{2a}$．
令y=ax+b=0，解得：x₀=-$\frac{b}{a}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4ak}}{2a}$+$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4ak}}{2a}$=-$\frac{b}{a}$=x₀．
（方法二）令y=ax+b=$\frac{k}{x}$，即ax²+bx-k=0，
则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$．
令y=ax+b=0，解得：x₀=-$\frac{b}{a}$．
∴x₁+x₂=x₀=-$\frac{b}{a}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及求根公式，解题的关键是：（1）结合AB=BP得出关于k的方程；（2）用求根公式表示出来x₁、x₂，再令y=0找出x₀．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由求根公式表示出x的值是关键．