Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
①点B与⊙O的位置关系是点B在⊙O上；（直接写出答案）
②若DE=2，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先作AC的垂直平分线，然后作⊙O；
（2）①通过证明OB=OA来判断点在⊙O上；
②设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r²=4²+（r-2）²，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）如图所示；

（2）①连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
故答案为点B在⊙O上
②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=4，
设⊙O的半径为r，
则OA=OE=r，OD=OE-DE=r-2，
在Rt△AOD中，∵OA²=AD²+OD²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．