Question

3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过C点切线交于点D，和⊙O相交于E，且AC平分∠DAB．
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）若AB=10，AD=8，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由OA=OC知∠OAC=∠OCA，由AC平分∠DAB知∠DAC=∠OAC，从而得∠OCA=∠DAC，即可知AD∥OC，根据⊙O与CD相切，即∠OCD=90°可得∠ADC=180°-∠OCD=90°；
（2）作OF⊥AD，可知∠OFD=∠OCD=∠CDA=90°，得四边形OCFD是矩形，即可知OC=DF=$\frac{1}{2}$AB=5、CD=OF，根据勾股定理得OF=CD=4．

解答 解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC，
又∵⊙O与CD相切，
∴∠OCD=90°，
∴∠ADC=180°-∠OCD=90°；

（2）过点O作OF⊥AD于点F，

则∠OFD=∠OCD=∠CDA=90°，
∴四边形OCFD是矩形，
∴OC=DF=$\frac{1}{2}$AB=5，CD=OF，
在Rt△OFA中，∵OA=5，AF=AD-DF=8-5=3，
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=4．

点评 本题主要考查圆的基本性质、切线的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质和切线的性质是解题的关键'．