Question

已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．
（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；
（2）如图2，若sin∠P=

12

13

，求tan∠C的值．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接AB交PO于M，根据切线性质得出PA=PB，OP平分∠APB，推出∠AMO=90°，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出∠E=∠C，求出∠E=∠PBA，解直角三角形求出即可．

解答：证明：（1）连接AB交PO于M，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB，OP平分∠APB，
∴AB⊥OP，
∴∠AMO=90°，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠AMO=∠ABC，
∴OP∥BC；

（2）连接AB，过A作AD⊥PB于D，作直径BE，连接AE，
∵PB为⊙O的切线，
∴BE⊥PB，
∴∠PBA+∠ABE=90°，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠E=∠ABP，
∵∠E=∠C，
∴∠C=∠ABP，
∵sin∠P=

12

13

，
∴设AD=12x，则PA=13x，PD=5x，
∴BD=8x，
∴tan∠ABD=

AD

BD

=

12x

8x

=

3

2

，
∴tan∠C=

3

2

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，题目综合性比较强，有一道的难度．