Question

【题目】如图，已知直线与轴、轴交与、两点，抛物线经过点、.

备用图

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）点为线段上一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点，交直线于点.

①点是直线上方抛物线上一点，当相似时，求出点的坐标.

②若，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）①设点P的坐标为（x，0），则点N的坐标为（x，-x2+x+2），点C的坐标为（-x，-x2+x+2），点M的坐标为（-x+2），进而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性质即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点C的坐标；

②过点N作NE⊥AB于点E，设点P的坐标为（m，0），则PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性质及特殊角的三角函数值可用含m的代数式表示出BM，ME，AE的长度，再利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：（1）当x=0时，y=-x+2=2，

∴点A的坐标为（0，2）；

当y=0时，-x+2=0，

解得：x=4，

∴点B的坐标为（4，0）．

将A（0，2），B（4，0）代入y=-x2+bx+c，得：，

解得：，

∴这个抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

（2）①当△MNC∽△BPM相似时，如图1所示．

设点P的坐标为（x，0），则点N的坐标为（x，-x2+x+2），点C的坐标为（-x，-x2+x+2），点M的坐标为（x，-x+2），

∴MN=-x2+x+2-（-x+2）=-x2+4x，CN=|x-（-x）|=|2x-|．

∵△MNC∽△BPM，

∴，即，

解得：x1=，x2=-（舍去），x3=1，x4=7（舍去），

∴或，

∴当△MNC∽△BPM时，点C的坐标为（）或（）．

②过点N作NE⊥AB于点E，如图2所示．

设点P的坐标为（m，0），则PM=-m+2，MN=-m2+4m，

∴BM=PM=-m+2，ME=MN=（-m2+4m），

NE=2ME=（-m2+4m），AE=tan30°×NE=NE=（-m2+4m），

∴BM+ME+AE=AB，

即-m+（-m2+4m）+（-m2+4m）=，

整理得：（）m2-（）m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=，

∴当∠NAB=60°时，点P的坐标为（，0），即．