Question

18．已知，如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，等腰△EFG，EG=FG=3，EF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，点D与点F重合，将△EFG绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设直线EG分别与BA、射BD相交于M、N，当△BMN是以∠ABD为底角的等腰三角形时，线段BM=$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作DR⊥EG于R，GH⊥DE于H，作MP⊥BD于P．思想利用勾股定理求出GH，再根据$\frac{1}{2}$•DE•GH=$\frac{1}{2}$•EG•DR，求出DR，由sin∠DNR=sin∠ABD=$\frac{DG}{DN}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
推出DN=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，推出BN=DN+BD=$\frac{26\sqrt{5}}{5}$，由MN=MB，MP⊥BN，推出BP=ON=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$，由cos∠PBM=$\frac{PB}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即可解决问题．

解答 解：如图，作DR⊥EG于R，GH⊥DE于H，作MP⊥BD于P．

∵∠MNB=∠MBN，
∴MN=MB，
∵GE=GF=3，GH⊥EF，
∴EH=HF=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$，
∴GH=$\sqrt{E{G}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•DE•GH=$\frac{1}{2}$•EG•DR，
∴DR=$\frac{DE•GH}{EG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}•\frac{6\sqrt{5}}{5}}{3}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
由sin∠DNR=sin∠ABD=$\frac{DG}{DN}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴DN=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BN=DN+BD=$\frac{26\sqrt{5}}{5}$，
∵MN=MB，MP⊥BN，
∴BP=ON=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$，
由cos∠PBM=$\frac{PB}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查旋转变换、矩形的性质、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求线段的长，属于中考填空题中的压轴题．