Question

1．如图，一架长为AB=12米的云梯斜靠在一面墙上，且∠BAC=30°，设AB的中点为点P，现将梯子沿水平线向右滑动，使∠EDC=45°，设ED的中点为点Q，求点P运动到点Q时，所经过的路径的长．

Answer 1

分析 由直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半即可得出点P的运动轨迹为圆弧，连结CP、CQ，以C点为圆心，CP的长度为半径画圆，由CP=AP、CQ=DQ结合∠BAC=30°、∠EDC=45°，即可得出∠ACP=30°、∠DCQ=45°，再通过角的计算即可得出∠PCQ=15°，利用弧长公式即可算出结论．

解答 解：连结CP、CQ，以C点为圆心，CP的长度为半径画圆，如图所示．
∵P为AB的中点，
∴CP=PA=PB=6米，
∵∠BAC=30°，
∴∠ACP=30°，
∵Q为DE的中点，
∴CQ=QD=QE=6米，
∵∠EDC=45°，
∴∠DCQ=45°，
∴∠PCQ=∠DCQ-∠ACP=45°-30°=15°，
∴$\widehat{PQ}$=$\frac{15°}{180°}$•π•CP=$\frac{1}{2}$π．

点评 本题考查了轨迹以及弧长公式，解题的关键是求出∠PCQ的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，找出整个点P运动的轨迹是关键．