Question

10．如图，半圆形纸片的直径AB=10，AC是弦，∠BAC=15°，将半圆形纸片沿AC折叠，弧$\widehat{AC}$交直径AB于点D，则线段AD的长为5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设圆心为O，连接AC，OC，BC，CD，过C作CH⊥BD于H，根据圆周角定理得到∠BOC=30°，解直角三角形得到CH=2.5，OH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，BH=5-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根据折叠的性质得到$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，推出∠CDB=∠CBD，根据等腰三角形的性质得到BD=2BH=10-5$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：设圆心为O，
连接AC，OC，BC，CD，过C作CH⊥BD于H，
∵∠A=15°，
∴∠BOC=30°，
∵AB=10，
∴OC=5，
∴CH=2.5，OH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴BH=5-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵将半圆形纸片沿AC折叠，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，
∴∠ABC=∠CAB+∠ACD，
∵∠CDB=∠ACD+∠CAD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=BC，
∴BD=2BH=10-5$\sqrt{3}$，
∴AD=AB-BD=5$\sqrt{3}$．
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 考查了翻折变换（折叠问题），垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等．