Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=

 

?．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：本题求的是∠AOB的度数，而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手；CD是AB边上的高，则∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；O是△ACD的内心，则AO、CO分别是∠DAC和∠DCA的角平分线，即∠OAC+∠OCA=45°，由此可求得∠AOC的度数；再根据∠AOB和∠AOC的关系，得出∠AOB．

解答：解：如图．连接CO，并延长AO到BC上一点F，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°；
又∵O为△ACD的内切圆圆心，
∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠ACD）=

1

2

×90°=45°，
∴∠AOC=135°；
在△AOB和△AOC中，

AB=AC ∠BAO=∠CAO AO=AO

，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC=135°．
故答案为：135°．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形的性质；难点在于根据题意画图，由于没任何角的度数，需要充分挖掘隐含条件．此类题学生丢分率较高，需注意．